Am si eu o problema: daca definesc produsul scalar intre doi vectori apartinand unui spatiu R^n ca fiind coeficientul de corelatie normata intre cei doi vectori, cum pot sa-mi gasesc un set de vectori ortogonali?
Stiu ca o solutie ar fi generarea de numere aleatoare cu distributie normala, dar atunci ar trebui ca n sa fie foarte mare (preferabil infinit). Totusi, vectorii mei trebuie sa fie finiti (chiar de dimensiune relativ mica).

Nu mi-e clar... pentru ca mie mi se pare foarte simplu...
Ortogonal == produsul scalar = 0.

Bagi un vector la intamplare, apoi bagi inca un vector care vrei sa fie perpendicular cu acesta, prin urmare fixezi toate coordonatele in afara de una, pe care o numesti x. x il calculezi astfel incat produsul scalar dintre cele doi vectori sa fie 0.
Ca sa-l bagi si pe al 3-lea vector in poveste, fixezi n-2 coordonate si lasi 2 variabile libere: x si y, pe care le calculezi in sist de ecuatii dat de faptul ca produsul scalar cu ceilalti doi trebuie iar sa dea 0.
Etc...

Asta asa ar fi, dar, din pacate, m-a derutat faptul ca, daca n=2, pentru oricare doi vectori x si y, am <x,y> =1 !!!

Produsul scalar este ro=sum((xi-mean(x))*(yi-mean(y)))/sqrt((sum((xi-mean(x))^2)*sum((yi-mean(y))^2))

unde sum() este suma dupa i de la 1 la n, sqrt() este radical si mean() este valoarea medie.

Trebuie sa ma mai gandesc...
Din pacate, rezolvarea sistemului nu este triviala. Si as mai avea un caz: numarul vectorilor este mai mare decat dimensiunea spatiului, si am nevoie sa maximizez distanta dintre ei...

O metoda simpla si eficienta: steepest descent. Calculezi numeric parametrii, folosind o metoda iterativa (cauta pe net "steepest descent" daca nu stii deja cum functioneaza). Astfel incat nu conteaza cat de complicata este functia ta kernel prin care ai definit produsul scalar.
Daca ai definit corect functia kernel, atunci nu ai avea minime locale, prin urmare aplicarea metodei steepest descent te-ar conduce la solutia optima (cu precizia numerica stabilita de tine).

Nu sunt sigur ca metoda merge optim si la problema a doua: maximizarea unghiului intre vectori.

Asta ce materie e , daca nu va suparati?

cred ca fizica!?!Parca la materia asta am invatat de produs scalar,da nu mai ma duce mintea

@axel: Multumesc mult, incep acum sa caut.
@toxic: algebra (nu glumesc)

Edit: acum mi-am dat seama, ca ce definesc eu nu este chiar un produs scalar... pentru ca nu este liniar (adica am <a*v,w>=<v,w>!=a*<v,w> ). Cu toate astea, asa se defineste distanta intre doi vectori din spatiul meu, si nu pot s-o definesc altfel...

Dap, e profil tehnic...
Si, dupa umila mea parere, nu prea poti sa separi algebra de geometrie si de analiza, dar am zis si eu, asa...

Algebra = Ramură a matematicii care se ocupă cu studiul operaţiilor aritmetice independent de valorile lor numerice.

Analiză matematică = ramură a matematicii care studiază funcţiile, limitele, derivatele si aplicaţiile lor.

Geometria = Ramură a matematicii care studiază formele şi proprietăţile corpurilor, precum şi raporturile lor spaţiale.

Din pacate nu pot sa-ti dau un raspuns calumea la subiect. Ce sa-i fac daca am chiulit mai mult decat trebuia ?

Nu stiu de ce, dar mie-mi place sa-mi desenez vectorii pe hartie

Materia la care se studiaza produsul scalar este algebra liniara. Se mai studiaza si la geometrie.
Produsul scalar a 2 vectori X, Y din R^n, este:
<X,Y> = suma(i = 1..n) din { xi * yi }, unde xi, yi sunt componenta i a lui X, respectiv Y.
Exemplu: X = (-3; 2), Y = (1, 2); <X,Y> = (-3)*1 + 2*2 = -3 + 4 = 1

axel ti-a raspuns corect in a 2-lea post, iar, din pacate, rezolvarea sistemului nu este simpla. Bafta!