Versiunea pentru tiparit a acestui topic

Trimis de: gh0st pe 25 May 2004, 08:46 AM

A si B doua numere naturale, 1<A<B<100. Adica doua numere naturale intre 1 si 100, diferite intre ele si diferite de 1 si 100.


Exista si doua personaje in aceasta problema - domnul S si domnul P. Domnul S stie suma celor doua numere, iar domnul P stie produsul celor doua numere.


Domnul P il suna pe domnul S si iata scurta lor conversatie telefonica:


Domnul P: - Nu stiu numerele.

Domnul S: - Stiu ca nu ai cum sa stii numerele.

Domnul P: - Acum le stiu.

Domnul S: - Acum le stiu si eu.


Care sunt cele doua numere?

Trimis de: halcyon_lll pe 25 May 2004, 10:02 AM

Cumva cu relatiile lui Viete ??

Trimis de: gh0st pe 25 May 2004, 10:25 AM

Nici eu nu stiu deocamdata.

Trimis de: Napoleon9th pe 27 May 2004, 08:11 PM

Ce te streseaza mai mult? Care sunt numerele pentru care se intampla faza, sau rezolvarea problemei?

Raspunsul il gasesti la arhivele rec.puzzles - problema http://www.faqs.org/faqs/puzzles/archive/logic/part1/ -, dar rezolvarea inca imi da batai de cap... Am purtat insa o discutie cu autorul programului respectiv, in care m-a lamurit, dar tot nu stiu s-o explic la fel de bine ca el: problema asta chiar e criminala!

Trimis de: kim pe 27 May 2004, 08:18 PM

unde se intersecteaza 2 linii paralele???

Trimis de: Napoleon9th pe 27 May 2004, 09:19 PM

Vorbind din prisma geometriei afine?

Trimis de: E.B.E. pe 1 Jun 2004, 10:20 PM

Adevarul este ca daca le aplici o transformare non-afina, atunci poate ca se intersecteaza... vreodata...

Trimis de: Napoleon9th pe 2 Jun 2004, 11:33 AM

Nici nu e necesar sa ajungi asa departe... Insasi definitia unei drepte in geometria afina (=ne-euclidiana!) implica faptul ca intersectia lor contine 'punctul de la infinit'. Fara nici o transformare...

Trimis de: E.B.E. pe 3 Jun 2004, 01:50 AM

Mda, tineam eu minte ceva de genul asta... Dar definitia asta nu am stiut-o pana acum, mea culpa

Trimis de: Inorog pe 17 Jun 2004, 07:18 AM

Nici nu e necesar sa ajungi asa departe... Insasi definitia unei drepte in geometria afina (=ne-euclidiana!) implica faptul ca intersectia lor contine 'punctul de la infinit'. Fara nici o transformare...
________________________________________________________________

Daca doua drepte paralele se intersecteaza la infinit, inseamna ca o infinitate de drepte paralele se intersecteaza la infinit.
Corect ? Dar, o infinitate de drepte definesc un plan infinit. O infinitate de planuri infinite se vor intalni si ele la infinit. Dar o infinitate de planuri infinite definesc spatiul infinit. Asadar, la infinit, spatiul se va restrange la un singur punct.':ok:

Trimis de: Marcus pe 24 Jun 2004, 03:22 PM

Trimis de: ld@n pe 25 Jun 2004, 01:45 PM

Si totusi, care sunt cele doua numere?
Si cum le pot obtine domnul P si S folosind formula magica?

Trimis de: Marcus pe 25 Jun 2004, 06:06 PM

ld@n, cele doua numere depind de P si S!
Trebuie sa dai valori...

Trimis de: Napoleon9th pe 25 Jun 2004, 06:11 PM

Nu chiar... Exista o singura pereche de numere ( A , B ) care satisface dialogul purtat de cei 2.

Trimis de: Marcus pe 25 Jun 2004, 06:14 PM

Pare-mi-se ca nu am inteles bine problema.
Formula pe care am obtinut-o eu satisface oricare doua numere A si B naturale, cuprinse intre 1 si 100. Mi se pare imposibil si ilogic sa existe o singura pereche A si B...
Poate imi spuneti si mie care sunt cele doua numere... altfel eu ma retrag ca deja ma depaseste filosofia asta...

Trimis de: Napoleon9th pe 25 Jun 2004, 06:27 PM

Hai sa detaliez putin primele 3 etape ale 'jocului'. Presupunem ca lucram cu 0<A<B<7 si ca tu esti Domnul S, cunoscand suma '5'. Faptul ca eu (domnul P) iti comunic ca nu stiu numerele iti spune ceva nou?

PS Daca vrei raspunsul, am prezentat mai sus un link...

Trimis de: ld@n pe 28 Jun 2004, 10:09 AM

Marcus, domnul S stie doar suma, domnul P stie doar produsul... Ei nu isi comunica unul altuia numerele pe care le stiu (S si P), ci doar faptul ca nu cunosc (sau cunosc) numerele A si B care indeplinesc conditiile A+B=S si A*B=P.
Si pentru problema simplificata prezentata de Napoleon9th, cu 0<A<B<7, raspunsul ar fi ceva de genul:
A B S P
--------------
1 2 3 2
1 3 4 3
1 4 5 4
1 5 6 5
1 6 7 6
2 3 5 6
2 4 6 8
2 5 7 10
2 6 8 12
3 4 7 12
3 5 8 15
3 6 9 18
4 5 9 20
4 6 10 24
5 6 11 30

Domnul P zice ca nu stie numerele. El ar sti numerele doar daca numarul pe care il site el (P) ar aparea o singura data in coloana P. Astfel, raman variantele:
A B S P
--------------
1 6 7 6
2 3 5 6
2 6 8 12
3 4 7 12
Pentru ca domnul S spune ca nu stie numerele, raman in lista doar variantele (1,6) si (3,4). Acum domnul P poate spune care sunt numerele A si B.

Trimis de: Napoleon9th pe 28 Jun 2004, 11:57 AM

"problema simplificata" prezentata mai sus este gresita... Intentia mea era sa pastrez si cazurile A=B dar am uitat sa modific semnul dintre ele... :-\ In situatia mea, produse "cu dubii" ar fi fost 4, 6 si 12, iar in cazul sumei 5, produsele "disponibile" sunt doar 4 si 6, ambele "cu dubii". Deci S stie ca P nu poate cunoaste numerele DOAR DIN INFORMATIA INITIALA (doar cunoscand P).

Trimis de: ld@n pe 28 Jun 2004, 03:43 PM

Se construieste o lista cu toate combinatiile posibile pentru A si B intre 1 si 100, suma si produsul lor.
1. Domnul P spune ca nu cunoaste cele doua numere. Astfel, din lista se elimina combinatiile pentru care produsul apare doar o singura data in lista.
2. Pentru ca domnul S stia ca P nu va sti cele doua numere, trebuie eliminate din lista toate combinatiile pentru care suma este o suma de doua numere prime. Pentru ca nici S nu stie numerele, trebuie eliminate din lista si combinatiile pentru care suma apare doar o singura data.
3. Deoarece domnul P cunoaste numerele, trebuie eliminate din lista toate combinatiile pentru care produsul apare de mai multe ori.
4. Deoarece domnul S cunoaste numerele, trebuie eliminate din lista toate combinatiile pentru care suma apare de mai multe ori.
Singura combinatie ramasa e: A=4; B=13; S=17; P=52.

Totusi, solutia e unica daca la pasul 2 se elimina toate combinatiile pentru care suma este o suma de doua numere prime. Adica, spre exemplu, se elimina si combinatiile care au suma 105 (105=2+103, fiind suma de doua numere prime), chiar daca ar fi exclusa posibilitatea ca A=2 si B=103 (atat domnul S cat si domnul P cunosc domeniul din care fac parte numerele). Asa incat, logic ar fi sa se elimine doar combinatiile pentru care suma este o suma de doua numere prime mai mici ca 100, caz in care, solutia nu mai e unica:
1. A=4, B=13, S=17, P=52
2. A=70, B=96, S=166, P=6720
3. A=75, B=80, S=155, P=6000
4. A=75, B=96, S=171, P=7200

Trimis de: Marcus pe 8 Jul 2004, 03:45 PM

Observ ca problema asta nu poate fi facuta decat la un calculator, pt ca pe hartie ar dura cateva luni de zile... Nu ar fi trebuit sa se procedeze asa, nici macat un matematician olimpic nu ar putea rezolva problema in cateva ore.

Trimis de: Wluiki pe 9 Jul 2004, 04:02 AM

Eu cred ca poate fi abordata si altfel, dar nu intrezaresc solutia completa - mai ma gandesc.

Cam asa:

1) P: Nu stiu numerele. -> evident, daca P ar sti numerele avand doar produsul lor, inseamna ca cele doua numere ar fi prime, de aici deducem ca cel putin unul dintre ele nu este prim.

2) S: Stiu ca nu ai cum sa stii numerele. -> inseamna ca S avand suma lor si-a dat seama ca ambele numere nu pot fi prime simultan.

3) Acum e acum

Plus o observatie in paralel, pentru care am intuitia, am exemple pentru cele mai mic numere, dar n-am demonstratia matematica riguroasa - observatie care poate foloseste, poate nu: orice numar par poate fi scris ca suma de doua numere prime (mai putin 2 = 1+1).

edit: numerele pot fi ghicite din P daca sunt ambele prime, sau este vorba de un prim si patratul sau (de exemplu: 7 si 49)
edit2: la fel pot fi ghicite daca unul din numere este prim si foarte mare, de pilda daca P = 61*(2*...), evident ca unul din numere va fi 61 (caci inmultit cu orice altceva va da peste 100). Asadar daca numarul al doilea e divizibil cu 2, primul trebuie sa fie prim si mai mare decat jumatate din interval, daca al doilea e divizibil cu 3 si nu cu doi, primul trebuie sa fie prim si mai mare decat o treime, etc.
edit3: Rezolvare partiala

1<x,y<100
P=xy
S=x+y

1) a) P nu e produs de doua numere prime
  b) P nu este cubul unui numar prim (2, 3, 5, 7)
  ca) P nu are in componenta vreun numar prim mai mare decat 47
  cb) daca P este impar (nu il contine pe 2 ca divizor) nu are in componenta vreun numar prim mai mare decat 31
  cc) daca P este impar si nu se divide prin 3, nu are in componenta vreun numar prim mai mare decat 19 (etc.)
  d) P nu e produsul a doua numere mai mari sau egale cu 50 (vezi 1ca, cb, cc ...)

2) d) 4 <= S < 100
  a) S nu este par (in corelatie cu d), S nu este suma unui numar prim cu 2, adica 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 31, 33, 39, 43, 45, 49, 55, 61, 63, 69, 73, 75, 81, 85, 91, 99 => cel putin unul din numere e par => produsul e par (1cb, cc dispar!)
  b) S nu este 6, 9, 15, 21
 
  S poate fi 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95,  97
  1ca pare cam inutila acum, in fine, se reduc cateva posibilitati la sumele mari

3) Trebuie sa se calculeze toate P-urile pentru S-urile de mai sus, si se vor selecta cele care nu apar de mai multe ori (daca un produs ar corespunde mai multor sume, cel care stie produsul n-ar fi putut sa ghiceasca numerele!)

S = 11, P = 18, 24, 28, 30
S = 17, P = 30, 42, 52, 60, 66, 70, 72
S = 23, P = 42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132
S = 27, P = 50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182

(in italic am facut eliminarile)

...

S = k, P = 2*(k-1), 3*(k-2), ... sau (k+1)*(k-1)/4, (k+1)*(k-1)/4-2, (k+1)*(k-1)/4-4, ...

4) Daca S stie si el solutia dupa ce P o afla inseamna ca este acel rand pe care ramane o singura posibilitate pentu P dupa eliminarile facute la punctul 3.

Ma gandesc acum la o formulare matematica care sa dea raspunsul exact, mi-e lene s-o fac babeste

Trimis de: Wluiki pe 9 Jul 2004, 09:12 AM

corectie: S = 2*(k-2), 3*(k-3), ... care se poate scrie si ca 2*(k-2), 2*(k-2)+k-5, 2*(k-2)+k-5+k-7, 2*(k-2)+k-5+k-7+k-9,

in fine, intrebare este cum poti avea egalitatea a*(k1-a) = b*(k2-b) pentru k1 <> k2 facand parte din sirul de mai sus, a apartinand multimii de intregi 2 ... (k1-3)/2, b multimii 2 ... (k2-3)/2

Trimis de: Wluiki pe 9 Jul 2004, 05:34 PM

noi observatii: pentru k1<k2 => a>b, iar valorile lui a si b sunt de la 2 pana la (k-1)/2

in fine, nu am gasit solutia eleganta

mai pot elimina niste numere, am spus ca P trebuie sa fie un produs care sa nu aiba numere prime mai mari decat 47.

Dar, orice suma suficient de mare se poate scrie ca 53+x (corespunzandu-i produsul 53*x), asadar S nu poate sti ca P nu stie produsul (pentru ca am aratat mai sus, ca astfel de produse se pot afla usor, 53 este un numar si x, celalalt, orice alt divizor al lui x inmultit cu 53 dand peste 100). Cat de mare este suma asta? Pai mai mare ca 55 (53+2 = 55).

Atunci din sumele selectate mai sus raman cu:

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53

In acest caz, am curaj sa pornesc catre o solutie bruta (de data asta am subliniat duplicatele):

S = 11, P = 18, 24, 28, 30
S = 17, P = 30, 42, 52, 60, 66, 70, 72
S = 23, P = 42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132
S = 27, P = 50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182
S = 29, P = 54, 78, 100, 120, 138, 154, 168, 180, 190, 198, 204, 208, 210
S = 35, P = 66, 96, 124, 150, 174, 196, 216, 234, 250, 264, 276, 286, 294, 300, 304, 306
S = 37, P = 70, 102, 132, 160, 186, 210, 232, 252, 270, 286, 300, 312, 322, 330, 336, 340, 342
S = 41, P = 78, 114, 148, 180, 210, 238, 264, 288, 310, 330, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418, 420
S = 47, P = 90, 132, 172, 210, 246, 280, 312, 342, 370, 396, 420, 442, 462, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 546, 550, 552
S = 51, P = 98, 144, 188, 230, 270, 308, 344, 378, 410, 440, 468, 494, 518, 540, 560, 578, 594, 608, 620, 630, 638, 644, 648, 650
S = 53, P = 102, 150, 196, 240, 282, 322, 360, 396, 430, 462, 492, 520, 546, 570, 592, 612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702

conform rationamentelor din posturile anterioare, alegem singura suma careia ii corespunde un singur produs => S = 17 si P = 52. Cu putina algebra gasim si solutiile x = 4, y = 13, sau invers x = 13, y = 4

Trimis de: Olaf pe 12 Jul 2004, 01:49 PM

Am gasit si aparatul matematic:
http://math.ournet.md/competitiva/diofant/diofant.html
Nu am verificat inca solutia...

Trimis de: Wluiki pe 12 Jul 2004, 08:13 PM

Intr-adevar.

Dar dupa ce m-am uitat pe rezolvari, nu vad cum as putea rezolva (fara vreun artificiu) ecuatia k1a-a^2-k2b+b^2 = 0 (ecuatii diofantice de grad superior). Ca dupa aceea sa verific cate solutii are conform constrangerilor pe care le-am identificat mai sus.
Metodele "clasice" nu le vad aplicabile (descompunerea in factori - nu prea am cum si congruenta/incongruenta - coeficienti constanti).

Trimis de: Napoleon9th pe 13 Jul 2004, 07:29 PM

Trimis de: Wluiki pe 14 Jul 2004, 10:07 AM

Ai dreptate (ma virusasem de la numerele prime )

Adica din postul de pe 9 iulie 6:04 AM => sirul numerelor se mai prelugeste dupa 99
Abia cu observatia de la 7:34 PM se poate limita sirul la 53


ca idee de rezolvare eleganta pentru gasirea perechii (S, P) dupa aplicarea conditiilor, m-am gandit si la familii de parabole

se deseneaza graficele pe intervalul (0, max)
ideea este ca o dreapta m (cu m natural) care intersecteaza graficele lor sa aiba cel mult un punct de intersectie cu una din curbe, si acela sa fie numar natural

cum se rezolva nu stiu

Trimis de: Olaf pe 15 Jul 2004, 07:54 PM

Cred ca este ceva mai simplu.
Singurul caz in care P nu stie numesele (ma rog, tona de cazuri) este acela in care cele doua nu sunt prime.
S stie ca cele doua nu sunt prime, deci ne trebuie un numar intreg care nu poate fi suma a doua numere prime. Adica un numar impar, dar care nu este (numar prim+2). Vor exista mai multe astfel de sume, dar numai cateva pentru domeniul 1 - 100.
Studiez continuarea...

Trimis de: Wluiki pe 15 Jul 2004, 08:56 PM

Eu zic ca te inseli.

Solutia este S=17=13+4, P=52=13*4, un numar prim si unul neprim. Daca pornesti cu premiza ca ambele nu sunt prime, pierzi solutia. Plus ca existe multe alte produse P = numar prim*numar neprim, cand nu se poate afla P.

Trimis de: Olaf pe 16 Jul 2004, 01:11 PM

Poate ca ma insel, dar numerele pe care le-ai gasit respecta ce am spus pana acum. Incercam si eu o rezolvare mai "babeasca" .

Trimis de: Wluiki pe 16 Jul 2004, 01:23 PM

Tu ai spus ca:
Singurul caz in care P nu stie numesele (ma rog, tona de cazuri) este acela in care cele doua nu sunt prime.
Asadar, daca x si y sunt cele doua numere sustii ca x nu este prim si y nu este prim.

Solutia (adica P n-a stiut numerele la inceput) este x=4, y=13 (sau invers), dupa cum vezi unul din numere (13) este prim, iar celalalt (neprim). Nu stiu la ce te referi. Listele alea de mai sus, sunt liste de sume si produse (sumele in sirul asezat in final pe verticala, fiecarei sume ii corespund niste produse).


Ideea e buna, dar dreapta poate sa aiba si doua puncte de intersectie, cu conditia ca numai unul sa fie natural.

Nu prea. Am zis ca se deseneaza graficele pe intervalul (0, max) . Adica dreapta va intersecta fiecare parabola cel mult o data. Am atasat un desen, nu este foarte corect facut, il prezint doar pentru ilustrare (e facut in Paint )

 schita1.gif ( 2.62K ) : 42

Trimis de: Olaf pe 24 Aug 2004, 08:41 AM

Uite inca o problema in acelasi gen:


Un faraon hotataste sa ridice, folosind numai pietre cubice, cu latura de 10 cm, un monument in forma de paralelipiped dreptunghic, a carei inaltime sa fie egala cu diagonala bazei. El ordona unui anumit numar de functionari sa stranga fiecare un numar egal din materialele necesare. Apoi, faraonul moare.
Arheologii descopera, dupa mii de ani, numai unul din aceste depozite, continand 348 960 150 cuburi de piatra. Despre celelalte depozite nu se cunoaste decat faptul ca, din motive religioase/mistice, numarul total de depozite este un numar prim.
Aceste descoperiri dau totusi posibilitatea de a calcula dimensiunile monumentului si de a demonstra ca nu exista decat o solutie posibila.
Care sunt dimensiunile monumentului?

Nota1: Acesta problema nu necesita tatonari numerice. 348960150=2*35*52*7*11*373
Nota2: Solutia empirica nu se ia in considerare.


Eu nu am rezolvat-o inca...